一起案件，现场留下了 DNA。警方拿它在一个 500 万人的数据库里搜索，命中了一个人。专家出庭作证：这种 DNA 图谱在无关人群中的随机匹配概率是百万分之一。
除了这次命中，没有任何其他证据把这个人和案件联系起来——他不认识被害人，没有作案动机的线索，也不在现场附近被目击。
他是真凶的概率大约是——
请把下面这两句话读三遍，直到你确信它们说的不是一回事：
句①是专家证词，通常是对的。句②是把句①掉了个方向——而这一掉，就是prosecutor's fallacy（检察官谬误）。它是 1.2 章那个「P(A|B) 不等于 P(B|A)」在法庭上的化身，也是 2.1 章那个「阳性不等于患病」换了身衣服。
为什么错得这么离谱？还是那个老办法——数人头：
不是 99.9999%，是不到 17%。差了将近六个数量级。而那个「百万分之一」从头到尾都没算错——它只是在回答另一个问题。
上面那个计算里，起决定作用的不是 DNA 有多准，而是你搜了多少人。这一点极其重要，因为它意味着同一份 DNA 证据，证明力可以差出几千倍：
· 先有嫌疑人，再验 DNA。警方因为别的理由（目击、动机、监控）锁定了一个人，然后 DNA 匹配上了。此时「池子」只有一两个人，随机匹配几乎不可能发生——DNA 的证明力接近它的表面数值。
· 先搜库，再找嫌疑人。拿现场 DNA 去几百万人的库里捞，捞出一个人。此时「池子」是整个数据库，随机匹配几乎必然会发生若干次——命中本身几乎没有告诉你什么。
这个区别有个名字：database search effect（数据库搜索效应）。它说的是：搜索的范围越大，一次「命中」所携带的信息量就越小。这不是 DNA 技术的缺陷——任何证据都遵守这条规律。「我在一百万人里找到了一个符合特征的人」和「这个我早就怀疑的人符合特征」，是两个完全不同的事实。
那专家该怎么说？现代法庭科学的标准做法是只给似然比（2.2 章那个工具），并且明确它的边界：
这句话把责任划分得干干净净：专家提供似然比（证据该让信念移动多少倍），法庭提供先验（在其他证据下，起点在哪儿）。专家一旦说出「被告无罪的概率是百万分之一」，他就越权替法庭设定了先验——而且设成了一个荒谬的值。
下面的实验让你亲手改变「捞人的池子」有多大。注意左右两个大数字：左边是检方爱说的那个数，右边是法庭真正该问的那个数。默认场景（500 万人搜库、百万分之一、无其他证据）下，两者是「百万分之一」对 16.7%。
三个预设是同一份 DNA 证据、同一个「百万分之一」，唯一的区别是你从多大的池子里捞人：
| 场景 | 池子大小 | 预计随机匹配 | P(有罪 | 匹配) |
|---|---|---|---|
| 先有嫌疑人再验 DNA | 100 人 | 0.00 人 | 99.99% |
| 全市数据库搜索 | 500 万人 | 5 人 | 16.7% |
| 全国数据库搜索 | 1000 万人 | 10 人 | 9.1% |
最后请务必玩一下第三个滑块。保持「全市搜库」不变，把其他证据的似然比从 1 拖到 100——有罪概率立刻从 16.7% 升到约 95%。这就是本章想留下的正面结论：DNA 搜库命中不是定罪的理由，它是「值得去调查这个人」的理由。真正定罪的，是命中之后独立找到的那些证据。把顺序搞反了，就是把一个无辜者变成嫌疑人，再从他身上找证据——那是一条极其危险的路。
1.2 章里我们看了这个案子的第一处错误：把同一家庭两次婴儿猝死当作独立事件相乘，得出「1/7300 万」。现在看第二处，它更致命。
假设那个数字完全正确。它说的仍然只是：
而法庭要判断的是：
要从前者走到后者，你必须问一个庭上从未被认真问过的问题：「一位母亲连续谋杀两名亲生婴儿」这件事，本身有多罕见？
答案是：也极其罕见。而当你比较的是两个都极罕见的解释时，「1/7300 万」这个数字本身完全无法告诉你哪个更可能——你需要的是两者的比值。
数学家 Ray Hill 在 2004 年做了这件事。他用英格兰与威尔士的实际数据估算了两个基础率：同一家庭发生双重婴儿猝死的频率，以及同一家庭发生双重婴儿谋杀的频率。
Hill 的结论是：在只知道「一个家庭有两名婴儿猝死」这一件事时，自然死亡的解释比谋杀的解释更可能，量级上大约是数倍。也就是说，那个被用来定罪的数字，一旦被正确使用，指向的是相反的结论。
2001 年 10 月，英国皇家统计学会发表公开声明，指出该案证词中的统计推理没有依据，并特别点名了这种「把 P(证据|无辜) 当成 P(无辜|证据)」的错误。2003 年 1 月，上诉法院撤销了定罪——直接的法律理由是控方病理学家未披露的微生物学检验结果（该结果提示其中一名婴儿可能死于细菌感染），但判决书同时对统计证词的使用提出了严厉批评。
Sally Clark 在狱中度过了三年多。获释后她始终未能从这段经历中恢复，于 2007 年去世。此后，英国检察机关复查了数十起依赖类似证词的类似案件，另有数名被定罪的母亲的判决被撤销。
这个案子最令人不安的地方不是有人算错了，而是：那个数字在算术上并非全无根据，它只是被用来回答了一个它无法回答的问题。「1/7300 万」听起来是一个把一切疑虑碾碎的数字，而它实际上连「谋杀比自然死亡更可能」都证明不了。一个数字的说服力，和它的相关性，是两回事。
第一问：无辜者约 200 万人，每人 1/50 万的概率碰巧匹配 → 预计 4 人碰巧匹配。加上真凶，匹配者共约 5 人 → 有罪概率 ≈ 1 ÷ 5 = 20%。
第二问：200 万 ÷ 1 亿 = 0.02 人碰巧匹配。匹配者共约 1.02 人 → 有罪概率 ≈ 1 ÷ 1.02 ≈ 98%。
请注意这个对比说明了什么：「够不够准」这个问题，只有相对于池子大小才有答案。1/50 万在 200 万人的池子里几乎没有证明力，在 100 人的池子里则接近铁证。判断一份证据强不强，永远要先问「分母是多少」——这和 2.1 章「不要对罕见病做普筛」是同一条定律的两种应用。
它在特定条件下成立，但作为一般论证是有漏洞的——这个反向的错误有个名字：defence attorney's fallacy（辩护律师谬误）。
漏洞在于：它假装 DNA 是本案唯一的证据。如果被告同时还满足「案发时在现场附近」「认识被害人」「有作案时间」，那么另外那五名随机匹配者中的绝大多数会被这些条件直接排除——他们可能住在千里之外，或者当晚有牢固的不在场证明。
正确的做法回到 2.2 章的乘法：先用其他证据算出先验赔率，再乘以 DNA 的似然比。如果其他证据把他从「500 万分之一」提升到「100 人中之一」，再乘以 100 万倍的 DNA 似然比，有罪概率就会非常高。
所以检察官谬误和辩护律师谬误是同一枚硬币的两面：前者假装先验是「全世界只有他一个嫌疑人」，后者假装先验是「全城每个人嫌疑均等」。两者都在替法庭偷偷设定先验，而先验应该来自案件的全部证据。
问题一：这个数字是 P(证据|无辜) 还是 P(无辜|证据)？几乎必然是前者。要得到后者，必须先问「一名护士谋杀多名病人」本身有多罕见——它同样极其罕见。两个罕见事件相比，需要的是比值。
问题二：这个数字是怎么算出来的，独立性成立吗？「她在班上」和「病人死亡」很可能有共同原因：她可能被排在重症班次、夜班或临终关怀病区，那里的死亡率本来就高得多。把这些班次的死亡当成随机事件相乘，会得出天文数字般的「巧合概率」。
问题三：数据是怎么挑出来的？如果是先注意到「她在场时死了几个人」，再回头去统计，那就是在用同一批数据既提出假设又检验假设——这叫「德州神枪手谬误」（先开枪再画靶），4.3 章会专门讲。正确做法是用另一段独立时期的数据来检验这个假设。
这不是假想题。荷兰护士 Lucia de Berk 于 2003 年因类似的统计论证被定罪，服刑六年多；此案的统计推理受到统计学家（尤其是 Richard Gill 等人）的持续批评，2010 年荷兰最高法院重审后她被彻底无罪释放。这三个问题，每一个都能单独推翻当时的论证。
一、限定专家证词的形式。要求专家只陈述似然比，并明确声明「有罪概率不在本证词范围内」。这在英国等地已成为法庭科学的规范表述方式。同时禁止专家使用「他无罪的概率是……」这类句式。
二、强制披露搜索池的大小。凡是通过数据库搜索得到的匹配，必须同时告知陪审团数据库规模以及预计的随机匹配人数。「我们在 500 万人里搜到了他」和「我们验证了这个既有嫌疑人」必须被明确区分。
三、要求独立的确证证据。规定数据库搜索命中本身不能作为定罪的唯一依据——它只能作为启动调查的线索。这一条在多数司法体系的实践中已被普遍接受。
四、给陪审团提供自然频率格式的说明。与其告诉陪审团「随机匹配概率是百万分之一」，不如告诉他们「在这个 500 万人的数据库里，预计会有大约 5 个无辜的人也匹配上」。导读里 Gigerenzer 的发现在这里直接适用：同样的信息，换成频率格式，理解正确率显著上升。这可能是四条里最容易落地、也最被低估的一条。