电视游戏节目。你面前三扇门，其中一扇后面是汽车，另外两扇后面各是一只羊。
你选了 1 号门。主持人——他知道每扇门后面是什么——打开了 3 号门，露出一只羊。然后他问你：
「你要坚持 1 号，还是换到 2 号？」
直觉说「剩两扇门，一半一半」。这个直觉的错误可以用一句话点破：那两扇门不是同一个来历。一扇是你在什么都不知道的时候随便挑的，另一扇是主持人在知道答案的前提下、从剩下的门里精心留下来的。
用自然频率走一遍。玩 900 局，你每次都先选 1 号门：
关键在中间那两行的「只能」。当车不在你手上时（这占了 2/3 的局），主持人的手是被绑住的——他必须避开有车的门，于是他被迫把车的位置暴露在那扇没被打开的门上。你换过去，就接管了这个信息。
换个说法可能更顺：「换门」这个策略，本质上等价于「我赌车不在我最初选的那扇门后面」。而这件事的概率显然是 2/3。主持人开门这个动作没有改变你最初选对的概率（还是 1/3），它只是把剩下的 2/3 全部压缩到了一扇门上。
如果上面的推理还是让你别扭，试试这个版本：
一百扇门，一扇后面有车。你随便选了 37 号。然后主持人（他知道车在哪）把其余 99 扇门里的 98 扇全部打开，全是羊，只留下 68 号没开。
现在他问：坚持 37 号，还是换到 68 号？
几乎每个人都立刻想换。因为「我一次就蒙中了那 1/100」显然不太可能，而 68 号之所以能在 98 次开门中幸存下来，太可疑了。三门版的逻辑完全一样，只是 1/3 和 2/3 的差距没有 1% 和 99% 那么刺眼。
这道题的答案完全依赖于主持人知道门后是什么。如果他不知道、纯粹随机开了一扇门，恰好是羊——那么换门就没有任何优势，两扇门各 50%。
为什么？因为此时「他开出了羊」这件事本身成了一条新信息，而它同时提高了「车在你手上」的可能性。用 2.2 章的语言说：主持人知情时，「他开出羊」是必然事件，似然比为 1，不携带信息；主持人不知情时，「他开出羊」在「车在你手上」的世界里更容易发生，于是这条证据反过来支持了你最初的选择，恰好把优势抵消掉。
下面的实验里有一个「主持人不知情」开关，你可以亲自验证这件事——同样是开出一扇羊门，规则不同，答案就不同。这道题真正教给人的，是「信息从哪来」比「看到了什么」更重要。
上半部分可以真的玩：点一扇门，主持人开门，你决定换不换。下半部分是自动模拟——手玩十几局说明不了什么（这正是本题反直觉的原因：样本太小时两种策略看不出差别），得跑够一千局统计才说得上话。
三个预设各有各的用处。「经典 3 门」给出 1/3 对 2/3 的基准。「100 扇门」是治直觉的特效药——换门胜率 99.1%，而且门一多，「主持人被迫留下那一扇」的可疑感扑面而来。
最值得停下来看的是「主持人不知情」。注意两件事：第一，有大约三分之一的局直接作废了，因为主持人随手开门时把汽车提前开了出来；第二，在剩下的有效局里，两种策略的胜率都掉到了 50% 附近。
这个对照是本章真正的收获。你在两种模式下看到的画面是完全一样的：一扇你选的门，一扇被打开的羊门，一扇没开的门。但正确的决策完全不同。差别不在你看到了什么，而在产生这幅画面的规则是什么——主持人是被迫避开汽车，还是碰巧没开到汽车。3.4 章会把这个教训推到极致：同一个事实，因为「你是怎么知道的」不同，概率可以完全不同。
1990 年 9 月，美国《Parade》杂志的专栏作家 Marilyn vos Savant 在她的「Ask Marilyn」问答专栏里收到读者提问，正是这道三门问题。她给出的答案是：应该换，换门的胜率是 2/3。
这个答案是对的。而接下来发生的事，成了数学普及史上最著名的一场公开翻车——翻车的是读者。
据 vos Savant 本人后来的记述，她收到了约一万封读者来信，其中绝大多数说她错了。写信人里有约一千封来自拥有博士学位的人，包括数学教授。有人措辞相当不客气，指责她「作为全国最高智商的持有者，你显然是错的」，还有人建议她「承认错误，为提高全国的数学水平做点贡献」。
vos Savant 在后续几期专栏里反复解释，包括给出上面那个「一百扇门」的类比，并建议全国的数学课堂真的去做这个实验。不少班级照做了，模拟结果站在她这边。争论持续了几个月，最终以她的观点被广泛接受告终。
这个事件有两层值得琢磨的地方。
第一层：受过高等数学训练并不能免疫。这些写信的博士不是不会算条件概率——他们只是没意识到这里有条件概率要算。他们看到「剩两扇门」，直接套用了对称性。错误发生在「识别问题类型」这一步，而不是「计算」这一步，而前者恰恰是训练最难覆盖的地方。
第二层：这道题的表述确实曾经含糊。后来的讨论（包括 vos Savant 自己的承认）指出，原始提问没有明确说清主持人的行为规则——他是每次都必开一扇羊门，还是只在这一次这么做？他是否知道门后是什么？如果这些前提不成立，答案确实会变（正如实验里的「不知情」模式所示）。一部分批评者争的其实是题目的歧义，而不是数学。这也是为什么现代的标准表述会把主持人的规则一条条写清楚——含糊的题干让「答案是什么」变成了「你在回答哪道题」。
4 扇门：你最初选对的概率是 1/4，这个数字不会因为主持人开门而改变。所以「车不在你手上」的概率是 3/4，而这 3/4 现在被压缩到了唯一剩下的那扇门上 → 换门胜率 3/4。
N 扇门（主持人开 N−2 扇羊门）：不换 = 1/N，换门 = (N−1)/N。
可以在实验里验证：把门数拖到 100，换门胜率约 99%。门越多，换门越划算——因为你最初一次蒙中的概率越低，而那全部的「没蒙中」都被主持人压到了同一扇门上。
顺便一个值得注意的变体：如果主持人只开一扇羊门（剩下 N−2 扇未开），换到任意一扇特定的门，胜率是 (N−1)/N ÷ (N−2)。以 N=4 为例：3/4 ÷ 2 = 3/8，仍然大于不换的 1/4，但优势小了很多。优势的大小取决于主持人替你排除了多少扇门。
玩 900 局，你固定选 1 号，主持人从 2、3 号里随机开一扇：
· 车在 1 号（300 局）：主持人开哪扇都是羊 → 300 局走到「剩两扇」，换门输。
· 车在 2 号（300 局）：主持人一半概率开 2 号（车露出来，本局作废，150 局），一半概率开 3 号（羊，150 局）→ 有效 150 局，换门赢。
· 车在 3 号（300 局）：同理，有效 150 局，换门赢。
合计：作废 300 局；有效 600 局中，换门赢 300、输 300 → 各 50%。
对比经典规则下的 900 局全部有效、换门赢 600 局。差别的来源看得一清二楚：主持人知情时，「车在 2 号」的那 300 局全部完好地转化成了换门的胜局；主持人不知情时，其中一半被他自己毁掉了。换句话说，主持人的知情不是装饰性的设定，它是那台把 2/3 的概率搬运到另一扇门上的机器。
像的地方：猎头扮演了「知情的主持人」——他看过全部选项，替你排除了 20 个。如果他的目标真的是帮你选最好的，那么这一家「幸存」下来确实携带了大量信息，值得你把它看得比自己随手找到的那个 offer 更重。这正是换门的逻辑。
关键地不像：蒙提霍尔的主持人有一条被严格约束的规则——他必须避开汽车。而猎头的目标函数不一定和你一致：他可能优先推荐佣金最高的，或者最容易成交的。一旦筛选规则不是「留下对你最好的」，那扇幸存的门就不再是那个意思了。
所以要问的问题是同一个：「这个筛选是按什么规则做的？」规则决定了幸存者携带什么信息。这条思路可以直接推广——推荐算法留给你的内容、榜单留下的书、朋友转发给你的文章，全都是「被某种规则筛过的门」。有用的问题从来不是「它是什么」，而是「它凭什么活到了我面前」。这也正是 4.4 章幸存者偏差的核心。
错误发生在一个几乎无法察觉的替换上：他们把「剩下两个选项」等同于「两个选项等概率」。对称性是个极其强大的直觉，而这里的两扇门在外观上确实完全对称——都是关着的门。
被忽略的是它们的来历不对称：一扇是随机选的，一扇是筛选后的幸存者。概率不写在门上，它写在门是怎么变成现在这样的历史里。而人类的视觉和直觉系统只处理眼前的状态，不处理生成过程。
为什么 100 扇门管用？因为它把「筛选」这个动作变得无法忽视。主持人当着你的面连开 98 扇门，每一扇都精准避开了那唯一的车——这个行为太扎眼了，你不可能再把它当成中立的背景。三门版里，他只开一扇，这个动作看起来微不足道，于是被大脑当成了噪声。
这是一个可以推广的解题技巧：当直觉在某个规模上失灵时，把参数推到极端。把 3 变成 100，把 1% 变成 0.0001%，把两天变成两百年。极端情况下，被忽略的那个因素往往会变得刺眼——本书后面还会反复用到这一招。