规则：连续抛硬币，直到第一次出现反面为止。如果你抛了 n 次才出现反面，你得到 2ⁿ 元。
第 1 次就反面 → 2 元。第 2 次才反面 → 4 元。第 10 次 → 1024 元。第 30 次 → 十亿元以上。
这个游戏的期望值是无穷大（下面会算给你看）。
你愿意花多少钱买一次玩的机会？
先把那个无穷大算出来：
按 1.3 章的标准，你应该愿意付出全部身家来玩这个游戏。但没有人会这么做，而且他们是对的。这就是St. Petersburg paradox（圣彼得堡悖论）。
1738 年，Daniel Bernoulli 给出了至今仍是标准答案的解释：人在乎的不是钱的数量，而是钱带来的效用；而效用随财富增长是递减的。
第一个 100 万能改变你的人生，第一百个 100 万只是账户上多了一行数字。翻倍的钱，不带来翻倍的好处。
Bernoulli 提出用对数来刻画这种递减：效用 = ln(财富)。于是决策标准从「期望值最大」变成了expected utility（期望效用）最大：
为什么会收敛？因为 2ⁿ 涨得快，但 ln(2ⁿ) = n·ln2 只是线性增长——奖金的增长追不上概率的衰减了。用对数效用算，这个游戏值多少？通常只有十几到二十几元（具体取决于你的初始财富）。这和普通人的直觉几乎完全吻合。
请注意这里发生了什么：三百年前的一个数学难题，最终的答案是「普通人的直觉是对的，公式错了」。这在本书里是罕见的一次——前面四个 Part 都在讲直觉如何翻车。而这里，直觉抓住了一个期望值这把尺子根本量不到的东西：破产的不可逆性。
对数效用有一个性质，比「边际递减」更要命：ln(0) = −∞。也就是说，财富归零的效用是负无穷，无论概率多小，它都会让期望效用变成负无穷。
这不是数学上的怪癖，它精确地描述了现实：absorbing state（吸收态）——一旦进去就再也出不来的状态。破产之后没有「下一次」，而期望值这个概念的全部合法性，恰恰建立在「可以重复很多次」之上（1.1 章的大数定律）。
所以那句「期望值为正就该做」需要加一个前提：而且下注规模不至于让你出局。至于「多大算不至于出局」——那正是 5.2 章凯利公式要回答的问题，而下面的实验里，你会先亲眼看到那个答案的形状。
赌局：押上一笔钱，赢了拿回 1.5 倍的净收益，输了本金全没。用两把尺子量它——期望值（只看平均赚多少）和对数效用（看财富的相对变化，因此天然厌恶归零）。
默认设定：身家 100 万，押上 5%，胜率 50%。两把尺子都说「接受」。但把下注比例拖到 50%，它们就吵起来了。
三个预设讲的是同一件事的三个阶段。
「小注」：期望值 +12,500 元，确定性等价 +10,569 元。两把尺子一致，只是对数尺子略保守——它扣掉了一点「承担波动」的代价。
「重注」：期望值涨到 +125,000 元，看起来好了十倍。可确定性等价掉到了 −64,586 元。同一个赌局，一把尺子说接受，另一把说拒绝。——而且对数那把是对的：这个下注规模下，输一次的伤害远大于赢一次的好处。
「全押」：确定性等价 −100 万元，也就是等于确定失去全部身家。期望值依然是正的 25 万。期望值这把尺子对「有一半概率归零」这件事完全没有反应。
最后看那条曲线的形状：它先升后降，在 16.7% 处见顶，然后掉进深渊。这个形状是 Part 5 后半程的路线图——它说明「该不该赌」和「该赌多大」是两个独立的问题，而后者往往才是决定生死的那个。那个顶点的名字叫凯利比例，下一章见。
1713 年，瑞士数学家 Nicolas Bernoulli 在给友人的信中提出了本章开头那个游戏。它立刻成了当时概率论最尴尬的问题：数学给出无穷大，而所有人都只肯出几块钱。
这个矛盾之所以严重，是因为当时的概率论把「期望值」当作理性决策的定义。如果期望值给出的答案明显荒谬，那么要么所有人都不理性，要么这个定义有问题。
1738 年，他的堂弟 Daniel Bernoulli 在圣彼得堡科学院的院刊上发表了解答（这个悖论的名字就是这么来的）。他提出的核心主张，在今天读来依然锋利：
Bernoulli 由此建立了期望效用的雏形，并明确提出用对数函数来刻画财富的边际递减。这个思路在此后两百年里成了经济学的支柱之一：1944 年 von Neumann 与 Morgenstern 为它建立了公理化基础，风险厌恶、保险定价、投资组合理论都从这里生长出来。
值得强调的是这个案例的方法论意义：当一个数学模型和几乎所有人的直觉发生冲突时，有两种可能，而不是一种。可能是人错了（本书前四个 Part 讲的都是这种），也可能是模型漏掉了某个真实存在的东西。圣彼得堡悖论属于后者——期望值这个模型漏掉的，是「你只有一条命」这件事。
顺带一提，这个悖论还有一个更朴素的解法，常被称为「有限庄家」论证：现实中没有任何庄家付得起无穷大的奖金。如果庄家的总资产是一万亿元，那么游戏在第 40 次左右就必须封顶，期望值立刻从无穷大掉到 40 元上下——已经和人们的直觉出价在同一个量级了。这两个解法并不冲突：一个说明奖金实际上是有限的，另一个说明即便奖金无限，效用也是有限的。
期望值：0.5 × 2W + 0.5 × 0.5W = 1.25W。比不赌多 25%，期望值说：赌！而且应该反复赌！
对数效用：0.5 × ln(2W) + 0.5 × ln(0.5W) = 0.5(ln2 + lnW) + 0.5(lnW − ln2) = lnW。
和不赌完全相同。对数效用说：赌不赌无所谓，一点便宜也没占到。
谁对？看重复下去会怎样。赌 100 次，你大约会赢 50 次、输 50 次，财富变成 W × 2⁵⁰ × 0.5⁵⁰ = W。原地踏步——对数效用是对的。
那 1.25 倍的期望增长跑哪去了？它集中在极少数「几乎一直赢」的路径上。赌 100 次全赢的概率是 2⁻¹⁰⁰，但那条路径上的财富是 W × 2¹⁰⁰。这一条路径的天文数字，把平均值单枪匹马地拉了上去，而其余几乎所有路径都在原地或亏损。
这就是「集合平均」与「时间平均」的分裂：期望值描述的是平行宇宙的平均，而你只活在其中一条时间线上。5.4 章会把这件事讲透。
因为期望值是一个关于「重复很多次」的承诺（1.1 章的大数定律）。它说的是：如果你玩足够多次，平均结果会接近这个数。
而破产删掉的正是「足够多次」这个前提。一旦归零，你的序列就终止了，后面所有本该出现的好结果都不会到来。你不是「拿到了平均值」，你是退出了那个平均。
一个能锁死这个理解的问法：如果给你一个「99% 概率赚 100 倍、1% 概率归零」的机会，你玩多少次？期望值极高，每次都该玩。但玩 100 次，至少归零一次的概率是 1 − 0.99¹⁰⁰ ≈ 63%；玩 500 次，是 99.3%。只要一直玩下去，归零就是必然的终点，而路上赚的所有钱都会在那一刻清空。
正确的处理办法不是拒绝这类机会，而是控制单次投入的比例——让「归零」在任何一次里都不可能发生。这就是为什么 5.2 章的问题不是「赌不赌」而是「赌多大」。
为什么理性：因为对数效用下，你和保险公司对同一份风险的估值不同。一场大病可能吃掉你 80% 的财富——那是财富的相对剧变，对数效用下损失巨大。而对保险公司来说，同样的赔付只是它资产的极小一部分，且它同时承保了几十万人，大数定律让它的总赔付高度可预测。
所以保险是一笔双赢的交易：你付出一点期望值，换掉一个你承受不起的尾部；保险公司收下这个尾部，因为在它的规模上那根本不是尾部。双方的效用都提高了，尽管钱的总量没有增加。（这正是 1.3 章「卖出方差」那句话的完整版。）
什么情况下不该买：
· 损失你完全承受得起时。手机碎屏险、小额延保——最坏结果只是财富的零点几个百分点，对数效用几乎是线性的，此时你只是在白送期望值。判据：如果最坏结果不会改变你的生活，就自保。
· 保费定价过高时。期望值的损失有个合理范围；如果保费远超预期赔付，那就是在为方差付过高的溢价。
· 把保险当投资时。保险的功能是削减方差，不是产生收益。用它来追求回报是用错了工具。
一句话规则：为「会让你破产的事」投保，为「只是让你肉疼的事」自保。（本题只讨论概率结构，不构成保险或投资建议。）
不是，而且这一点值得讲清楚，免得把一个建模选择当成自然规律。
对数只是众多候选之一。经济学里常用的还有幂效用族（含风险厌恶系数）、指数效用等。不同的人在不同情境下，风险偏好差别很大——一个二十多岁、没有负债的人和一个背着房贷养着孩子的人，面对同一个赌局的合理选择本就不同。不存在一个对所有人都正确的效用函数。
那为什么对数特别常用？三个理由：
① 它有一条独特的性质。对数效用最大化恰好等价于长期财富增长率最大化——不是「平均财富最大」，而是「你实际经历的那条时间线上，增长最快」。这个性质是对数独有的，也正是 5.2 章凯利公式的来源。
② 它自带破产保护。ln(0) = −∞ 意味着任何导致归零的策略都会被自动排除，不需要额外加约束。
③ 它是尺度无关的。损失 10% 就是损失 10%，不管你有一万还是一亿。这符合大多数人对「相对损失」的实际感受。
但也要知道它的局限：对数效用对小额赌局的风险厌恶程度，往往低于人们的实际表现（这类偏离在行为经济学中有大量记录，前景理论正是针对这些现象提出的）；而且它假设你只关心财富一个维度，忽略了流动性、时间、心理承受力这些真实约束。
正确的态度：把对数效用当作一个比期望值好得多、但仍然是简化的模型。它的最大价值不在于给出精确答案，而在于它逼你把「破产」这件事写进算式里——而期望值连这一格都没有。